三角恒等式

恒等式是对每一个角都成立的等式 —— 不是拿来解的，是拿来依靠的。这里是你会不停用到的两族恒等式，机器实时运转，欢迎你来试着推翻它们。面向 12 年级。

sin²θ + cos²θ = 1 —— 不过是勾股定理

在单位圆上，sin θ 和 cos θ 是一个直角三角形的两条直角边，而斜边是半径 —— 长度为 1。剩下的交给勾股定理：

sin²θ + cos²θ = 1² —— 对每个 θ 都成立，没有例外

两个角之和的正弦是什么？不是 sin a + sin b —— 正弦不是能直接相加的长度。真正的配方要把两个函数都搅进来：

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

滑动 a 和 b。紫色数字直接计算左边；绿色数字用公式拼出来。它们从不打架。

每道「证明此恒等式」都是这两条加上移项整理。连倍角公式也只是 b = a 时的和角公式：sin 2a = 2 sin a cos a。

和角公式正是把平移后的波 sin(x + C) 改写成 sin x 与 cos x 的组合的方法 —— 这是弧度与图像里相位平移背后的把戏，也是整个傅里叶的底层机关。

还不熟悉单位圆？从 Sin、Cos 与 Tan 开始。回到三角学主页。