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正弦、余弦与正切

三个让很多人害怕的词 —— 但每一个其实都只是直角三角形里两条边的比值。我们让它们动起来。

直角三角形的思路：SOH-CAH-TOA

在直角三角形里挑一个非直角的角，叫它 θ（"theta"）。三条边就相对 θ 起名字：

• 斜边（hypotenuse）—— 最长的那条，正对着直角。
• 对边（opposite）—— θ 正对面的那条。
• 邻边（adjacent）—— 紧挨着 θ（又不是斜边）的那条。

大声念几遍 —— "soh-cah-toa" —— 你就再也不会搞混了。

在单位圆上看看

这就是把一切串起来的窍门。画一个半径为 1 的圆（"单位圆"）。在上面放一个点，让它转过角度 θ。那么这个点的坐标正好是 cos θ, sin θ —— 余弦是横向走了多远，正弦是纵向升了多高。

一边拖一边注意：

• 绿色的高度是 sin θ；蓝色的宽度是 cos θ。斜着的半径就是斜边 —— 它的长度永远是 1。
• 两者都在 −1 和 1 之间。这就是为什么 sin 和 cos 永远不会超过 1。
• 过了 90°，点会走进别的象限，于是 sin 或 cos 变成负数 —— 圆让这些定义对任何角度都成立，而不只是三角形里。
• 打开"显示正切线"：tan θ = sin θcos θ，你能看到角度接近 90° 时它冲向无穷大（因为 cos θ → 0）。

值得背下来的几个角

点演示里的快捷按钮（30°、45°、60°……）正好落在这些角上来验证。

正弦波是怎么来的

让点匀速地一直转，只盯着它的高度随时间变化。这个高度 —— 也就是正弦 —— 升、降、变负、再重复。把它画出来，就得到著名的正弦波。按播放：

虚线把旋转的点和波连了起来 —— 它们始终在同一个高度，因为它们就是同一个数：sin θ。这正是三角学能描述一切重复现象的原因：声音、光、弹簧、潮汐，甚至监护仪上的心跳。勾选"显示余弦曲线"，看看 cos 在做同样的事，只是早了四分之一圈。