多项式与有理函数
一个多项式完全由它在哪儿穿过 x 轴（它的根）加上一个伸缩系数决定。所以别做代数了：直接抓住那些根，拖着走。面向 12 年级（安大略 MHF4U 及同等课程）。
用根把它搭出来
每个根 r 贡献一个因式 (x − r)。把因式乘起来，再用首项系数 a 整体伸缩，整条曲线就定了：
y = a(x − r₁)(x − r₂)…(x − rₙ)
次数和 a 的正负决定了远处会发生什么 —— 著名的端点走向。奇数次：两端朝相反方向跑。偶数次：两端同向。中间部分，n 次多项式最多能转 n − 1 次弯。
拖动这些根 🔵
沿 x 轴拖动圆点（自动吸附到半格）。把两个根叠到同一个位置，看曲线不再穿轴、而是弹回去。然后切到有理函数模式。
该看什么
穿过还是弹回
单根穿过坐标轴；二重根碰一下就弹回（因式被平方，符号翻不了）。这一条观察能解决大多数「画出此多项式草图」的考题。
有理函数 = 多项式 ÷ 多项式
分母的根变成垂直渐近线 —— 曲线在那里飞出去。除非分子有同一个根：因式相消，只留下一个洞（空心圆圈）。比较分子分母的次数，就能找到水平渐近线。
在有理模式里，把分子的根正好叠在分母的根上，看垂直渐近线塌缩成一个小空心圈 —— 一个可去的洞。再验证水平渐近线的规则：上面根少 → y = 0；数量相同 → y = a；上面更多 → 根本没有水平渐近线。