函数变换器
11 年级里的每一条图像，都是某个母函数图形被拉伸、翻转、平移后的结果。在这里弄懂这一个概念，整门函数课都会变轻松。抓住图像、挪动它 —— 手机也能用。
背后那一个公式
从一个简单的母函数开始 —— 比如 f(x) = x²。每一条相关的图像，都是在它外面裹上四个数字得到的：
y = a·f(b(x − h)) + k
- a —— 把它纵向拉伸（变高/变矮）。取负值，图像就关于 x 轴翻转。
- b —— 把它横向拉伸（变窄/变宽）。取负值就关于 y 轴翻转。
- h —— 把它左右平移。
- k —— 把它上下平移。
挪动图像 🟠
拖动橙色圆点平移图像，用滑块控制拉伸，用按钮切换母函数。灰色虚线是没动过的母函数 —— 看看你的版本离它走了多远。
所有人都会被绊倒的地方
注意这个分界：a 和 k（外面的数字）的行为很友好 —— a 越大越高，k 为正就往上。但 b 和 h 住在括号里面、紧挨着 x —— 在里面，一切都是反着来的：
括号外面 —— 符合直觉
改 a 或 k，图像就照你猜的那样做：变高，或往上移。它们作用在输出（也就是 y 值）上，在函数算完之后。
括号里面 —— 相反
x − 3 把图像往右移 3（不是往左！），而 b = 2 让它变窄，不是变宽。它们在函数运行之前作用在输入上，所以效果是反过来的。
想体会这一点：把母函数设成 x²，再用圆点拖动 h。当图像往右走时，方程显示的是 (x − 3) —— 那个减号和向右的移动看上去自相矛盾，直到你看见它们同时发生。这一个「啊哈」，几乎就是这一章在考的全部。
值得一试
- 挑 √x，把 b 设成负 —— 曲线翻到左边去了，定义域也跟着翻转。
- 挑 1/x 并拖动圆点 —— 你正在把渐近线（曲线永远碰不到的那两条线）挪到 x = h 和 y = k。
- 挑 sin x，把 b 调大 —— 波从前到后被压短了。这个横向压缩，正是「周期」的含义。
- 关掉「显示母函数（虚线）」，试着在脑子里从图像读出 a、b、h、k，再打开来对答案。
这是 11 年级很多内容的引擎室。本栏目接下来：抛物线工作室（同时呈现顶点式 / 因式式 / 一般式），以及指数与对数。见函数主页。