正弦定理

SOH-CAH-TOA 只在直角三角形里管用。正弦定理是你处理任意三角形的第一件工具。

在任意三角形里，每条边用它对面那个角的小写字母来标记：边 a 对着角 A，以此类推。正弦定理说，这三个分数永远相等：

asin A = bsin B = csin C

看它始终相等

拖动任意顶点。三角形改变形状，边和角都在变 —— 但三个比值锁在一起。更妙的是，这个共同的值等于 2R，也就是过三个顶点那个圆（外接圆，虚线所示）的直径：

外接圆这个联系，才是定理成立的真正原因 —— 每条边都是同一个圆的弦，而弦长等于直径乘以它所对圆周角的正弦。

正弦定理需要一对相互对应的边和角才能起步。遇到下面这些情况就用它：

（AAS / ASA）—— 用"内角和 180°"求出第三个角，再求其他边。

（SSA）—— 求第二个角。不过要小心……

两解的情况（SSA）。当给的是两条边和一个非夹角时，sin 可能给出两个都成立的角（因为比如 sin 40° = sin 140°）。有时两个都能构成真三角形，有时只有一个。一定要检查：这些角加起来还小于 180° 吗？

一个三角形里，角 A = 40°，角 B = 75°，它们之间那条边未知 —— 但边 a = 8 厘米（A 的对边）。求边 b。

bsin B = asin A
b = a × sin Bsin A
b = 8 × sin 75°sin 40°
b = 8 × 0.9660.643 ≈ 12.0 厘米

方法就这么简单：写下定理，把已知的那一对代进去，解出你要的那个。

如果你拿到的是两条边和它们夹着的那个角？正弦定理没法从这里起步 —— 用余弦定理。