黎曼和
导数把间距缩到零，得到了斜率。积分把同一个把戏反过来玩：把面积切成薄片，让薄片变得无限薄。面向 12 年级。
切片、相加、再来一遍
弯弯曲曲的图像下面的面积看起来没法测量 —— 曲线套不进矩形的公式。那就别去精确测量，先近似它：把从 a 到 b 的这段切成 n 条，在每条上立一个矩形，再加起来：
面积 ≈ f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + … + f(xₙ)·Δx
每个矩形都略高一点或略矮一点 —— 但切片越多，总误差就越小。当 n → ∞，这个和不再是近似，而成为积分本身，写作 ∫ f(x) dx。
把切片数拉上去 🟠
拖动蓝点 a 和 b 选择区间；滑动 n 增加切片，或点「n → ∞」。每种取样规则都试试，看哪一种收敛得最快。
该看什么
这个和是可算的
对任何有限的 n，橙色数字只是把矩形面积加起来 —— 宽 × 高，小学六年级的东西。暂时还不需要极限。
积分是极限
当 n → ∞，橙色的和逼近绿色数字 —— 精确面积。和导数是同一个「任意地近」，只是从斜率换成了面积。
在 x² 上比较几种规则：左端点偏小（曲线不断从矩形上方翘出去），右端点偏大，而中点几乎自己抵消了误差 —— 数数它只需要多少片。再在 sin x 上把 a 拖到零以下：轴下方的切片算作负面积（紫色），对称的区间加起来正好是零。