割线 → 切线
导数是曲线在某一个点上的斜率。但「一个点的斜率」听起来不可能 —— 斜率需要两个点。这就是微积分如何绕过这一点，而你可以看着它发生。面向 12 年级。
先两个点，再挤压
在曲线上挑一个点 P。在离它 h 远处加第二个点 Q。过这两点的直线 —— 割线 —— 有一个你能算出来的斜率：
PQ 的斜率 = f(a + h) − f(a)h
现在把 Q 朝 P 滑 —— 让 h 缩向零。割线随之转动，在极限处它靠在曲线上，成为切线。它的斜率就是导数，写作 f ′(a)。
把 Q 拖向 P 🟢🟠
拖动绿点 P 选择位置；拖动橙点 Q —— 或用 h 滑块 —— 缩小间距。或者点「让 h → 0」，看橙色割线落到绿色切线上。
该看什么
割线是可测的
对任何真实的间距 h，橙色斜率不过是纵向差除以横向差 —— 九年级就学过。读数里的数字是精确的，暂时还不需要极限。
切线是极限
当 h → 0，橙色割线斜率逼近那个绿色数字 f ′(a)。它从不除以零 —— 只是变得任意地近。那个「任意地近」正是极限的全部含义。
每个函数都试试。在 x² 上，拖动 P，看导数每次都等于 2a（在 a = 3 处斜率是 6）。在 sin x 上，切线恰好在波峰处水平 —— 也就是 cos x = 0 的地方。你正在从一个函数的形状里直接读出它的导数。