向量与点积
向量是一支箭 —— 既有长度又有方向。点积则是那个奇妙的小运算：把两支箭「相乘」，交回一个普通的数。这个数到底在告诉你什么，看看就知道。面向 12 年级（安大略 MCV4U 及同等课程）。
两个公式，一个数
点积有一份坐标菜谱和一份几何菜谱，而且它们永远给出同一个答案：
u · v = u₁v₁ + u₂v₂ = |u| |v| cos θ
第一个是心算就能做的算术。第二个说出了它的含义：它衡量两支箭有多「同向」。方向相同 → 又大又正。互相垂直 → 恰好为零。近乎相反 → 负数。
拖动箭头 🟠🔵
拖动 u 和 v 的箭尖（自动吸附到半格）。观察点积、夹角和绿色影子 —— 试试让 u · v 恰好等于零。
该看什么
符号就是夹角
不用算出 θ 也能知道它大概在哪儿：u · v > 0 说明夹角是锐角，< 0 是钝角，= 0 则互相垂直。这条「零判定」是整门课里用得最多的事实。
绿色影子是投影
从 u 的箭尖向 v 所在直线作垂线：绿色线段就是 u 在 v 上的影子，带符号的长度是 u·v / |v|。物理里把一个力拆成「沿斜面」和「压向斜面」，用的正是它。
试试 u = (2, 1)、v = (−1, 2)：分量相乘是 −2 + 2 = 0，两支箭正好互相垂直 —— 不用量角器。再把 v 拖过垂直位置，看影子翻到负的那一侧。