叉积与三维向量
两个向量的点积给你一个数。而叉积给你一个全新的向量 —— 一个从前两者所在的平面里直直竖起来的向量。它是你找出"哪边是上"、拧动扳手、或给一个曲面定朝向的方式。从 12 年级向量进入大学一年级。
一个指向新方向的乘积
三维里的两个向量 u 和 v 张成一个平行四边形。它们的叉积 u × v 是那个同时垂直于两者 —— 垂直于整块平行四边形 —— 的向量，长度等于那块平行四边形的面积：
u × v = (u₂v₃ − u₃v₂) î + (u₃v₁ − u₁v₃) ĵ + (u₁v₂ − u₂v₁) k̂ · |u × v| = |u| |v| sin θ
转一转 🟠🔵🟢
拖动场景来旋转相机。用滑块设定 u（橙）和 v（蓝）—— 绿色箭头是 u × v，始终从阴影平行四边形里戳出来。试试预设：î × ĵ = k̂。
读懂结果
长度 = 面积
|u × v| 是 u 和 v 张成的平行四边形的面积，等于 |u||v| sin θ。两向量垂直时它最大，越靠拢越缩到零 —— 恰是点积的镜像，点积在两者平行时最大。
方向 = 右手定则
让右手手指沿 u，向 v 弯曲，大拇指就指向 u × v。把次序对调，答案就变号：v × u = −(u × v)。它是唯一一个不满足交换律的乘积。
当 u 与 v 平行时，平行四边形被压平，面积为零，于是 u × v = 0 —— 这是判断"这两者指向是否相同"最快的检验。还要注意，答案始终与两个输入成完美的直角：点积 u·(u×v) 和 v·(u×v) 都恰好为零。