复数与复平面
复数 a + bi 在你把它画成一个点的那一刻就不再神秘 —— 实部横着走，虚部竖着走。于是两种运算干净地分开了：相加是平移，相乘却是转动。大学一年级，也是波动、旋转与信号处理背后那台隐秘的引擎。
一个可以指出来的数
把实部放在横轴、虚部放在纵轴，每个复数就成了从原点出发的一支箭头。它有一个长度（模 |z|）和一个方向（辐角，也就是与正实轴的夹角）。这两种看法 —— a + bi 与长度加角度 —— 就是全部故事。
先相加，再相乘 🟠🔵
拖动 z₁（橙）和 z₂（蓝）。在相加与相乘之间切换，看绿色的结果。相加模式里能看到平行四边形；相乘模式里，看角度是怎么叠起来的。
两种运算，两幅图
相加是滑动
z₁ + z₂ 把两部分分别相加，和加向量一模一样：把 z₁ 的箭头沿 z₂ 滑过去，箭尖就落在和上。四个点围成一个平行四边形。什么都没转。
相乘是转动
模长相乘，辐角相加。|z₁z₂| = |z₁|·|z₂|，arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂。所以乘以一个长度为 1 的数就是纯旋转 —— 这也正是为什么位于 90° 的 i 会把一切转四分之一圈。
直接看：把任何数乘以 i，它就逆时针摆动 90°。再乘一次 —— 又是 90° —— 你就到了 180°，也就是 ×（−1）。这就是 i² = −1 诚实的含义：两个四分之一圈凑成半圈。那个"不可能"的 −1 的平方根，忽然只是一句指令："旋转 90°"。