数列与级数
数列是一串带规则的数；级数是把它们加起来得到的东西。同时看这两者 —— 各项是柱子，累加的总和是一条线 —— 那些公式就不再是要死记的东西了。面向 11 年级。
两种规则，两个家族
- 等差 —— 每一项加上一个固定的公差 d：2、5、8、11、…… 各项沿直线增长。
- 等比 —— 每一项乘上一个固定的公比 r：4、2、1、½、…… 各项弯曲。
搭出数列 📊
在等差和等比之间切换，然后滑动首项以及公差或公比。蓝色柱子是各项 tₙ；绿色圆点是累加的总和 Sₙ（级数）。
该注意什么
和就是累加的总数
每个绿点都是到目前为止所有蓝柱加起来的总和。在等差里，绿点越来越快地往上弯 —— 这就是为什么求和公式 Sₙ = n2(2a + (n−1)d) 里带一个 n²。
等比级数何时落定
切到等比，把公比设在 −1 到 1 之间。各项缩到几乎为零，于是累加的总和不再攀升，稳稳落到一个极限上 —— 那条虚线 S∞ = a1 − r。把公比推过 1，它就永远落不定。
试试看：把公比设成 0.6，看绿点朝虚线极限爬去却永远差一点点 —— 一个无穷和，却有一个有限的答案。然后把公比拨到 1.5，整个东西就腾空而起。|r| = 1 这一个临界点正是本章的核心，而在这里你能看着它翻转。
现实里到处是数列：等差是单利、是一排排往上叠；等比是复利、是弹跳的球、是一笔贷款真正的增长方式。回到函数主页。